Questão FC281812
Considere uma regressão \(y = \alpha + \beta x + ε\) que tem R2 (coeficiente de determinação) igual a A. A seguir, é acrescentada uma variável irrelevante z, de modo que a regressã
Regressão
VUNESP · 2023
Considere uma regressão \(y = \alpha + \beta x + ε\) que tem R2 (coeficiente de determinação) igual a A. A seguir, é acrescentada uma variável irrelevante z, de modo que a regressão \(y = \alpha + \beta x + γ z + ε\) tenha R2 igual a B.
É correto afirmar que
- o valor esperado de B será menor que o de A.
- B será sempre menor do que A.
- B será menor do que A, se a estatística t de \(γ\) for menor do que um.
- A e B serão iguais.
- B nunca será menor do que A.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
A afirmação está correta porque o coeficiente de determinação \(R^2\) é dado por \(R^2 = 1 - \dfrac{\text{SSR}}{\text{SST}}\), onde SSR é a soma dos quadrados dos resíduos e SST é a soma total dos quadrados.
O estimador de mínimos quadrados escolhe os coeficientes que minimizam a SSR. Ao adicionar uma nova variável ao conjunto de regressoras, o espaço gerado pelas colunas da matriz de regressão só pode permanecer igual ou aumentar, logo a SSR não pode aumentar e, portanto, \(R^2\) não pode diminuir.
Se a variável z for irrelevante, a SSR tende a ficar igual ou decrescer apenas por ajuste amostral, de modo que o novo \(R^2\) (B) será igual ou maior que o anterior (A). Em suma: B nunca será menor do que A.
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