Questão FC282562
Dado o modelo de regressão múltipla \(y = \alpha + \beta \times + \gamma Z + \varepsilon\), onde y, x e z são variáveis, \(\alpha, \beta\) e \(\gamma\) são constantes e \(\varepsil
Regressão
VUNESP · 2020
Dado o modelo de regressão múltipla \(y = \alpha + \beta \times + \gamma Z + \varepsilon\), onde y, x e z são variáveis, \(\alpha, \beta\) e \(\gamma\) são constantes e \(\varepsilon\) é uma variável aleatória com média zero. Considere ainda as regressões simples \(y = \alpha_1 + \beta_1 \times + \varepsilon_1\) e \(y = \alpha_2 + \gamma_2 \times + \varepsilon_2\).
Se as três regressões forem estimadas por mínimos quadrados ordinários, têm-se os seguintes resultados:
- o estimador de \(\beta_1\) será igual ao estimador de \(\beta\) e o estimador de \(\gamma_2\) será igual ao estimador de \(\gamma\).
- o estimador de \(\beta_1\) será igual ao estimador de \(\beta\), mas o estimador de\(\gamma_2\) não será igual ao estimador de \(\gamma\).
- o estimador de \(\beta_1\) não será igual ao estimador de \(\beta\) e o estimador de \(\gamma_2\) não será igual ao estimador de \(\gamma\), necessariamente.
- o estimador de \(\beta_1\) será igual ao estimador de \(\beta\) e o estimador de \(\gamma_2\) será igual ao estimador de \(\gamma\) se, \(\varepsilon, \varepsilon_1\) e \(\varepsilon_2\) não forem correlacionadas com z e x.
- o estimador de \(\beta_1\) será igual ao estimador de \(\beta\) e o estimador de \(\gamma_2\) será igual ao estimador de \(\gamma\) se o coeficiente de correlação amostral entre z e x for zero.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Na regressão múltipla por MQO as estimativas decorrem das equações normais que contêm o termo cruzado \(\sum_i x_i z_i\). Se o coeficiente de correlação amostral entre \(X\) e \(Z\) for nulo, tem-se \(\sum_i(x_i-\bar x)(z_i-\bar z)=0\), equivalente a \(\sum_i x_i z_i = n\bar x\bar z\).
Com isso as equações normais se separam: os termos envolvendo \(\beta\) deixam de depender de \(\gamma\) e vice‑versa. Assim, a estimativa de inclinação obtida na regressão simples de \(Y\) sobre \(X\), \(\widehat\beta_1\), coincide com a estimativa \(\widehat\beta\) da regressão múltipla; análogo para \(\widehat\gamma_2\) e \(\widehat\gamma\).
Observe que os interceptos diferem: \(\widehat\alpha_1=\widehat\alpha+\widehat\gamma\bar z\) e \(\widehat\alpha_2=\widehat\alpha+\widehat\beta\bar x\), mesmo quando as inclinações coincidem.
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