Questão FC282567
Considere o seguinte modelo de regressão entre as variáveis X e Y: \(Y_i = \alpha\,e^{ \beta X_i + \in_i},\,\,\,\,\,\,i = 1, \cdots, n\) Se \(\bar{X} = { \large \sum_{i=1}^n X_i \o
Regressão
VUNESP · 2022
Considere o seguinte modelo de regressão entre as variáveis X e Y:
\(Y_i = \alpha\,e^{ \beta X_i + \in_i},\,\,\,\,\,\,i = 1, \cdots, n\)
Se \(\bar{X} = { \large \sum_{i=1}^n X_i \over n}\) e \(\bar{Y} = { \large \sum_{i=1}^n Y_i \over n}\) são as médias amostrais, os estimadores de mínimos quadrados dos parâmetros α e β são dados por:
\(\hat{a} = \bar{Y} - \hat{ \beta} \bar{X}\) e \(\hat{ \beta} = { \large \sum_{i =1}^n X_i Y_i - { \begin{pmatrix} \sum_{i =1}^n X_i \end{pmatrix}} { \begin{pmatrix} \sum_{i =1}^n In Y_i \end{pmatrix}} \over \sum_{i =1}^n X_i^2}\)
\(\hat{a} = \bar{Y} - \hat{ \beta} \bar{X}\) e \(\hat{ \beta} = { \large \sum_{i =1}^n X_i Y_i - \bar{X} \sum_{i =1}^n In Y_i \over n}\)
\(\hat{a} = e^{ { \large\sum_{i=1}^n In Y_i - n \hat{ \beta} \bar{X} \over n}}\) e \(\hat{ \beta} = { \large \sum_{i =1}^n X_i In Y_i - \bar{X} \sum_{i =1}^n In Y_i \over \sum_{ i =1}^n X_i^2 - n \bar{X}^2}\)
\(\hat{a} = e^{ \bar{Y} - \hat{ \beta} \bar{X}}\) e \(\hat{ \beta} = { \sum_{ i =1}^n X_i In Y_i - n \bar{X} \bar{Y} \over n}\)
\(\hat{a} = e^{ { \large\sum_{i=1}^n In Y_i - n \hat{ \beta} \bar{X} \over n}}\) e \(\hat{ \beta} = { \large \sum_{ i=1}^n In Y_i - n \bar{X} \bar{Y} \over \sum_{ i =1}^n X_i^2 - n \bar{X}^2}\)
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Aplicando a log-transformação no modelo \(Y_i=\alpha e^{\beta X_i+\varepsilon_i}\) obtemos \( \ln Y_i = \ln\alpha + \beta X_i + \varepsilon_i\). Defina \(Z_i=\ln Y_i\) e \(a=\ln\alpha\); então temos o modelo linear \(Z_i=a+\beta X_i+\varepsilon_i\).
Usando mínimos quadrados no modelo linear, o estimador de \(\beta\) é \(\hat\beta=\dfrac{\sum X_i Z_i - n\bar X\bar Z}{\sum X_i^2 - n\bar X^2}\). Substituindo \(Z_i=\ln Y_i\) e \(\bar Z=\frac{1}{n}\sum \ln Y_i\) chega-se a \(\hat\beta=\dfrac{\sum X_i\ln Y_i - \bar X\sum \ln Y_i}{\sum X_i^2 - n\bar X^2}\), conforme indicado.
O estimador de \(a=\ln\alpha\) é \(\widehat{\ln\alpha}=\bar Z-\hat\beta\bar X\). Exponenciando, obtemos o estimador de \(\alpha\): \(\hat\alpha=\exp\!\bigg(\dfrac{\sum \ln Y_i - n\hat\beta\bar X}{n}\bigg)\), que coincide com a expressão da alternativa.
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