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Questão FC282579

Considere um processo estocástico com a seguinte forma funcional: \(y_t = 0,6 y_{t-1} + e_t\) em que \(\left\{ e_t \right \}_{t\,\in\,z}\) representa uma sequência de variáveis ale

Análise de Séries Temporais

VUNESP · 2022

Considere um processo estocástico com a seguinte forma funcional:

\(y_t = 0,6 y_{t-1} + e_t\)

 

em que \(\left\{ e_t \right \}_{t\,\in\,z}\) representa uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, em que E[et] = 0 e Var[et] = σ2. É correto afirmar que a função de autocovariância do processo \(\left\{ y_t \right \}_ {t \ge 1}\) é tal que

  1. \(Cov (Y_{t + h}, y_t) \sigma^2 ( -0,6)^h\)
  2. \(Cov (Y_{t + h}, y_t) = \sigma { \large (0,6)^h \over 0,64}\)
  3. \(Cov (Y_{t + h}, y_t) = \sigma { \large \sigma^2 \over 0,64}\)
  4. \(Cov (Y_{t + h}, y_t) = \sigma^2 { \large (0,6)^h \over 0,64}\)
  5. \(Cov (Y_{t + h}, y_t) = \sigma { \large (0,6)^h \over 0,64}\)
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Gabarito

D

Comentário do professor

AR(1) estacionário: para \(y_t=\phi y_{t-1}+e_t\) com \(|\phi|<1\) e \(Var(e_t)=\sigma^2\), a variância em estado estacionário é \(\;Var(y_t)=\gamma_0=\dfrac{\sigma^2}{1-\phi^2}\).

Covariância lag‑h: devido à propriedade recursiva do AR(1), a autocovariância satisfaz \(\;Cov(y_{t+h},y_t)=\phi^h\gamma_0\). Assim, basta substituir \(\gamma_0\).

Com \(\phi=0{,}6\) obtemos \(\;Cov(y_{t+h},y_t)= (0{,}6)^h\dfrac{\sigma^2}{1-(0{,}6)^2}=(0{,}6)^h\dfrac{\sigma^2}{0{,}64}\), que coincide com a alternativa correta.

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