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Questão FC282589

Uma pesquisa identificou a probabilidade de uma pessoa que, atualmente, tem um produto da marca A, B ou C trocar pelo produto da marca A, B ou C, em uma próxima compra. A tabela a

Processos Estocásticos

VUNESP · 2023

Uma pesquisa identificou a probabilidade de uma pessoa que, atualmente, tem um produto da marca A, B ou C trocar pelo produto da marca A, B ou C, em uma próxima compra. A tabela a seguir identifica essas probabilidades.

 
  \(\begin{matrix} \text{A} & \quad & \text{B} & \quad & \text{C} \end{matrix}\)

\(\text{A}\)

\(\text{B}\)

\(\text{C}\)

 \(\begin{matrix} 0,7 & \quad & 0,1 & \quad & 0,3 \\ 0,2 & \quad & 0,6 & \quad & 0,2 \\ 0,3 & \quad & 0,1 & \quad & 0,5 \end{matrix}\)
 

A leitura da tabela é feita olhando-se primeiro para a linha e, depois, para a coluna: por exemplo, a probabilidade de uma pessoa que tem o produto da marca A trocar para o produto da marca B é 0,1, ou seja, 10%, enquanto que a probabilidade de uma pessoa que tem o produto da marca B trocar para o produto da marca C é 0,2, ou seja, 20%. Matricialmente, essa tabela pode ser assim representada:

 

\(\text{P} = \begin{bmatrix} 0,7 & 0,1 & 0,3 \\ 0,2 & 0,6 & 0,2 \\ 0,3 & 0,1 & 0,5 \end{bmatrix}\)

 

Sabendo-se que P2 = P ⋅ P corresponde à probabilidade de uma pessoa que, atualmente, tem um produto da marca A, B ou C, trocar pelo produto da marca A, B ou C, em uma segunda próxima compra, é correto afirmar que, em uma segunda próxima compra, uma pessoa que tem, atualmente, o produto da marca C trocar pelo produto da marca A é de:

  1. 38%
  2. 21%
  3. 13%
  4. 42%
  5. 9%
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Gabarito

A

Comentário do professor

Temos a matriz de transição P; P² dá as probabilidades após duas compras. Queremos a probabilidade de quem tem a marca C trocar para a marca A na segunda próxima compra.

Esse valor é o elemento da 3ª linha (atual C) e 1ª coluna (futura A) de \(P^2\). Não é preciso calcular a matriz inteira: basta o produto escalar entre a 3ª linha de \(P\) e a 1ª coluna de \(P\).

\( \text{linha}_3 = (0,3,\;0,1,\;0,5),\quad \text{coluna}_1 = (0,7,\;0,2,\;0,3)^T\).

\(0,3\cdot0,7 + 0,1\cdot0,2 + 0,5\cdot0,3 = 0,21 + 0,02 + 0,15 = 0,38.\)

Portanto, a probabilidade buscada é 38%.

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