Questão FC282593
Na análise de componentes principais, uma das etapas iniciais consiste no cálculo dos autovalores e autovetores da matriz de covariância dos dados originais. Considere X um conjunt
Análise Multivariada
VUNESP · 2024
Na análise de componentes principais, uma das etapas iniciais consiste no cálculo dos autovalores e autovetores da matriz de covariância dos dados originais. Considere X um conjunto de dados com n observações e p variáveis, e C a matriz de covariância dos dados, em que C é uma matriz de posto completo. Sejam os autovalores (\(λ\)) e autovetores (v) de C. Nesse contexto, a única alternativa correta será:
- a dimensão da matriz C será n \(\times\) p.
- a dimensão da matriz C será n \(\times\) n.
- a dimensão da matriz C será p \(\times\) n.
- o número de autovalores obtidos será n.
- o número de autovetores obtidos será p.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
A matriz de covariância \(C\) de um conjunto com \(p\) variáveis tem dimensão \(p\times p\). Sendo \(C\) simétrica e de posto completo, sua equação característica \(|C-\lambda I|=0\) fornece exatamente \(p\) raízes (autovalores) contadas com multiplicidade.
Para cada autovalor existe pelo menos um autovetor; como \(C\) é real e simétrica, os autovetores correspondentes a autovalores distintos são ortogonais e é possível obter um conjunto de \(p\) autovetores linearmente independentes que forma uma base de \(\mathbb{R}^p\).
Assim, na Análise de Componentes Principais podemos extrair exatamente \(p\) autovetores (associados aos \(p\) autovalores). Se o posto é completo, nenhum desses autovalores é zero, garantindo \(p\) componentes efetivos.
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