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Questão FC282594

Considere um estudo realizado em que foi decidido aplicar a técnica de análise de componentes principais, e a matriz de covariâncias do vetor de variáveis aleatórias \(X = { \begin

Análise Multivariada

VUNESP · 2021

Considere um estudo realizado em que foi decidido aplicar a técnica de análise de componentes principais, e a matriz de covariâncias do vetor de variáveis aleatórias \(X = { \begin{bmatrix} X_1\\X_2 \end{bmatrix}}\) é dada por \(\sum = { \begin{bmatrix}\,5\,\,-2\\-2\,\,\,2 \end{bmatrix}}\) . Se Y1 é a primeira componente principal de \(\sum\), então, a variância de Y1 é igual a

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Gabarito

Errado

Comentário do professor

A variância da primeira componente principal corresponde ao maior autovalor da matriz de covariâncias Σ. Assim, calcula-se os autovalores pela equação característica \( \det(\Sigma - \lambda I)=0 \).

Escrevendo o determinante: \( \begin{vmatrix}5-\lambda & -2\\[2pt]-2 & 2-\lambda\end{vmatrix}=0\), que leva a \( (5-\lambda)(2-\lambda)-(-2)^2=0\).

Desenvolvendo, obtém-se \( \lambda^2-7\lambda+6=0\). As raízes são \( \lambda_1=6\) e \( \lambda_2=1\).

Portanto, a variância da primeira componente principal é \( \lambda_1 = \mathbf{6}\).

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