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Questão FC282595

De um estudo envolvendo a técnica da análise de componentes principais, considere que \(\sum \, = \, \begin {bmatrix} 7 \,\,\, -2 \\ -2 \,\,\ 4 \end {bmatrix}\) seja a matriz de co

Análise Multivariada

VUNESP · 2020

De um estudo envolvendo a técnica da análise de componentes principais, considere que \(\sum \, = \, \begin {bmatrix} 7 \,\,\, -2 \\ -2 \,\,\ 4 \end {bmatrix}\) seja a matriz de covariâncias do vetor de variáveis aleatórias \(X \, = \, \begin {bmatrix} X_1 \\ X_2 \end {bmatrix}\). Se Y1 corresponde à primeira componente principal de \(\sum,\) então a proporção da variância total de X, que é explicada por Y1, é

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  2. 8/11.
  3. 3/5.
  4. 3/8.
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Gabarito

B

Comentário do professor

A proporção da variância explicada pela primeira componente principal é dada por \(V_1=\dfrac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}\), onde \(\lambda_1,\lambda_2\) são os autovalores de \(\Sigma\).

Calcule o polinômio característico \(p(t)=\det(\Sigma-tI)=\left|\begin{matrix}7-t & -2\\-2 & 4-t\end{matrix}\right|=(7-t)(4-t)-4\), ou seja \(p(t)=t^2-11t+24\).

As raízes desse polinômio são os autovalores: \(\lambda_1=8\) e \(\lambda_2=3\).

Portanto, a proporção explicada pela primeira componente é \(V_1=\dfrac{8}{8+3}=\dfrac{8}{11}\), que corresponde à alternativa correta.

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