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Questão FC282621

Um time de basquete deseja contratar um jogador para reforçar o seu time no próximo campeonato. O critério para a contratação será a sua proporção θ de acertos nos arremessos de 3

Estatística Bayesiana

VUNESP · 2022

Um time de basquete deseja contratar um jogador para reforçar o seu time no próximo campeonato. O critério para a contratação será a sua proporção θ de acertos nos arremessos de 3 pontos: o jogador será contratado se θ ≥ 0,8. O time fará um teste com o provável contratado, e observará o total y de acertos em n arremessos de 3 pontos. Com o resultado do teste, o time pretende decidir entre as hipóteses: H0 : θ ≥ 0,8 (contrata o jogador) ou H1 : θ < 0,8 (não contrata o jogador). No contexto de uma decisão bayesiana, suponha que as perdas envolvidas são:


L0: perda sofrida, ao decidir que o jogador não deve ser contratado, quando ele deveria ser contratado;


L1: perda sofrida, ao decidir que o jogador deve ser contratado, quando ele não deveria ser contratado.


Adotando-se a função densidade a priori π(θ) = 2θ,0 < θ < 1 para a proporção θ, e sabendo que, no teste realizado, o jogador acertou 4 arremessos de 3 pontos em n = 4 lançamentos, o time deve rejeitar a hipótese H0 se:

  1. \({ \large L_0 + L_1 \over L_1} > 0,2^6\)
  2. \({ \large L_1 \over L_0 + L_1} < 2^6\)
  3. \({ \large L_0 \over L_0 + L_1} > 0,8^4\)
  4. \({ \large L_0 \over L_0 + L_1 } < 0,8^6\)
  5. \({ \large L_1 \over L_0} > 0,2\)
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Gabarito

D

Comentário do professor

A partir da priori \(\pi(\theta)=2\theta\) e da verossimilhança \(\theta^4\) (pois \(y=4,n=4\)), a densidade a posteriori é proporcional a \(2\theta^5\).

Calcule a probabilidade a posteriori de \(H_1:\theta<0{,}8\):\newline \(P(H_1\mid\text{dados}) = \dfrac{\int_0^{0,8}2\theta^5\,d\theta}{\int_0^1 2\theta^5\,d\theta} = \dfrac{\tfrac{1}{3}0{,}8^6}{\tfrac{1}{3}} = 0{,}8^6\).

Pela regra de decisão Bayesiana, escolhe‑se não contratar (decidir \(H_1\)) quando o custo esperado dessa decisão é menor que o custo esperado de contratar, o que dá\newline \(\;L_0\,(1-P(H_1\mid\text{dados}))

Conclusão: rejeita‑se \(H_0\) se \(\dfrac{L_0}{L_0+L_1}<0{,}8^6\).

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