Questão FC282623
Na abordagem bayesiana, com base no conhecimento que se tem sobre um parâmetro θ, pode-se definir uma família paramétrica de densidades. Nesse caso, a distribuição a priori é repre
Estatística Bayesiana
VUNESP · 2020
Na abordagem bayesiana, com base no conhecimento que se tem sobre um parâmetro θ, pode-se definir uma família paramétrica de densidades. Nesse caso, a distribuição a priori é representada por uma forma funcional, cujos parâmetros devem ser especificados de acordo com esse conhecimento. Essa abordagem, em geral, facilita a análise e o caso mais importante é o de prioris conjugadas. A ideia é que as distribuições a priori e a posteriori pertençam à mesma classe de distribuições e, assim, a atualização do conhecimento que se tem do parâmetro θ envolve apenas uma mudança nos hiperparâmetros. Nesse caso, assinale a alternativa em que é correto afirmar que a priori é conjugada.
- Distribuição a priori Beta de parâmetros inteiros é conjugada à família Bernoulli.
- Distribuição a priori Uniforme é conjugada à família Normal.
- Distribuição a priori Poisson é conjugada à família Normal.
- Distribuição a priori Normal é conjugada à família Bernoulli.
- Distribuição a priori Beta de parâmetros inteiros é conjugada à família Gama.
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Gabarito
A
Comentário do professor
A alternativa está correta porque a distribuição Beta é conjugada à família Bernoulli. Considere uma amostra de tamanho \(n\) com somatório de sucessos \(s=\sum x_i\) e parâmetro de probabilidade \(\theta\).
Uma priori Beta com parâmetros \(\alpha,\beta\) tem forma \(\pi(\theta)\propto \theta^{\alpha-1}(1-\theta)^{\beta-1}\). A verossimilhança da Bernoulli (ou binomial) é \(L(\theta)\propto \theta^{s}(1-\theta)^{\,n-s}\).
Multiplicando prior por verossimilhança obtemos a posteriori proporcional a \(\theta^{\alpha-1+s}(1-\theta)^{\beta-1+n-s}\), ou seja, uma Beta com parâmetros atualizados \(\alpha'=\alpha+s\) e \(\beta'=\beta+n-s\).
Logo, a atualização envolve apenas mudança nos hiperparâmetros (contagem de sucessos e fracassos), caracterizando a conjugação entre Beta e Bernoulli.
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