Um computador foi usado para gerar n números aleatórios no intervalo [0, 1]. Seja Yn a quantidade de números maiores ou iguais a 3/4, é correto afirmar que \(\overset {lim} { n \ri

Gabarito

B

Comentário do professor

Gerou-se \(n\) valores uniformes em \([0,1]\). Cada um tem probabilidade \(p=1/4\) de ser \(\ge 3/4\), logo a contagem \(Y_n\) é Binomial \((n,p)\) (soma de ensaios i.i.d. Bernoulli).

A expectativa é \(E[Y_n]=np=\dfrac{n}{4}\) e a variância \(Var(Y_n)=np(1-p)\). Para estudar a probabilidade pedida padronizamos:

\(Z_n=\dfrac{Y_n-n/4}{\sqrt{n p(1-p)}}\). Então \(P(Y_n>n/4)=P(Z_n>0)\).

Pelo Teorema Central do Limite, \(Z_n\) converge em distribuição para uma normal padrão \(Z\sim N(0,1)\). Assim

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}P(Y_n>n/4)=P(Z>0)=\tfrac{1}{2}.\)