A partir dos axiomas da Teoria das Probabilidades, algumasproposições podem ser estabelecidas, para quaisquer eventos não vazios, dentre as quais estão:

Gabarito

D

Comentário do professor

Partindo da hipótese de independência entre A e B, temos \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\). Para mostrar que os complementos também são independentes, use a identidade \( \overline{A}\cap\overline{B}=\overline{A\cup B}\) e a relação \(P(\overline{E})=1-P(E)\).

Assim,
\(P(\overline{A}\cap\overline{B})=1-P(A\cup B)\)
\(=1-\big[P(A)+P(B)-P(A\cap B)\big]\)
\(=1-P(A)-P(B)+P(A\cap B)\).

Substituindo a hipótese \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\) obtemos
\(P(\overline{A}\cap\overline{B})=1-P(A)-P(B)+P(A)P(B)\)
\(=(1-P(A))(1-P(B))=P(\overline{A})P(\overline{B}).\)

Logo, se A e B são independentes, seus complementos também o são.