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Questão FC334441

Considere eventos A, B e C. Avalie se as afirmativas a seguir, relativas à teoria das probabilidades, são falsas (F) ou verdadeiras (V). ( ) Se vale a igualdade Pr(\(A∩B∩C\))=Pr(\(

Probabilidade

FGV · 2023

Considere eventos A, B e C. Avalie se as afirmativas a seguir, relativas à teoria das probabilidades, são falsas (F) ou verdadeiras (V).

 

( ) Se vale a igualdade Pr(\(A∩B∩C\))=Pr(\(A\))⋅Pr(\(B\))⋅Pr(\(C\)), então A, B e C são mutuamente independentes.

 

( ) Se A e B são dois eventos mutuamente exclusivos, então Pr(\(\bar{A}∩\)\(\bar{B}\))=1−Pr(\(A\))−Pr(\(B\)).

 

( ) Os eventos A e B são independentes se, e somente se, Pr(\(A\)|\(B\))=Pr (\(B\)).

 

As afirmativas são, respectivamente,

  1. V – V – V.
  2. V – V – F.
  3. V – F – V.
  4. F – V – F.
  5. F – F – F.
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Gabarito

D

Comentário do professor

Falso. A igualdade \(Pr(A\cap B\cap C)=Pr(A)Pr(B)Pr(C)\) garante apenas a independência conjunta dos três eventos no caso da interseção tripla. Para ser mutuamente independentes é preciso também que valham as igualdades de todas as interseções pares: \(Pr(A\cap B)=Pr(A)Pr(B)\), \(Pr(A\cap C)=Pr(A)Pr(C)\) e \(Pr(B\cap C)=Pr(B)Pr(C)\). Sem essas condições pares, a independência total não está assegurada.

Verdadeiro. Pelo teorema de De Morgan, \(\bar A\cap\bar B=\overline{A\cup B}\). Se \(A\) e \(B\) são mutuamente exclusivos, \(Pr(A\cup B)=Pr(A)+Pr(B)\). Assim \(Pr(\bar A\cap\bar B)=1-Pr(A\cup B)=1-Pr(A)-Pr(B)\).

Falso. A definição de independência exige \(Pr(A|B)=Pr(A)\) (ou simetricamente \(Pr(B|A)=Pr(B)\)). A igualdade \(Pr(A|B)=Pr(B)\) não corresponde à definição correta e, em geral, não é verdadeira quando os eventos são independentes.

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