Sejam A, B e C três eventos de um mesmo espaço amostral de tal forma que \((A \cup B) \subset C\) e \(A \cap B \ne \varnothing\) Então, é correto afirmar que:

Gabarito

B

Comentário do professor

Começamos pela definição de probabilidade condicional: \(P(A\cap B\mid A\cup B)=\dfrac{P((A\cap B)\cap(A\cup B))}{P(A\cup B)}\) e \(P(A\cap B\mid C)=\dfrac{P((A\cap B)\cap C)}{P(C)}\).

Como \(A\cap B\subset A\cup B\subset C\), as interseções reduzem a \(A\cap B\). Assim

\(P(A\cap B\mid A\cup B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A\cup B)}\) e \(P(A\cap B\mid C)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(C)}\).

Note que \(P(A\cup B)\le P(C)\). Mantendo o mesmo numerador, um denominador menor produz uma fração maior. Logo

\(\dfrac{P(A\cap B)}{P(A\cup B)}\ge \dfrac{P(A\cap B)}{P(C)}\), ou seja \(P(A\cap B\mid A\cup B)\ge P(A\cap B\mid C)\).

Se \(P(A\cap B)>0\) a desigualdade é estrita; se \(P(A\cap B)=0\) ambas as condicionais valem zero. Intuitivamente: condicionar por um evento mais restrito (a união) aumenta a probabilidade relativa da parte comum.