Dois eventos A e B têm probabilidades iguais a 70% e 80%. Os valores mínimo e máximo da probabilidade da interseção de A e B são

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Usamos a fórmula da união: \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\). Reescrevendo, \(P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)=1{,}5-P(A\cup B)\).

Como qualquer probabilidade satisfaz \(0\le P(A\cup B)\le1\), a interseção será menor quando \(P(A\cup B)\) for maior. No máximo, \(P(A\cup B)=1\), logo o mínimo de \(P(A\cap B)\) é \(1{,}5-1=0{,}5\) (50%).

A interseção será máxima quando a união for mínima. A união mínima ocorre se um evento está contido no outro; então \(P(A\cup B)=\max\{0{,}7,0{,}8\}=0{,}8\). Assim o máximo de \(P(A\cap B)\) é \(1{,}5-0{,}8=0{,}7\) (70%), que não pode exceder \(\min\{P(A),P(B)\}=0{,}7\).

Portanto, \(P(A\cap B)\) varia entre 50% e 70%.