FC ConcursosFC Concursos

Questão FC334524

Os eventos A, B e C de um espaço amostral são tais que A é independente de B, e B é independente de C. Sabe-se ainda que os três têm probabilidade não nula de ocorrência. Com tais

Probabilidade

FGV · 2018

Os eventos A, B e C de um espaço amostral são tais que A é independente de B, e B é independente de C. Sabe-se ainda que os três têm probabilidade não nula de ocorrência.


Com tais informações, é correto afirmar que:

  1. A é independente de C;
  2. A, B e C são mutuamente independentes;
  3. A e C são mutuamente exclusivos;
  4. B é independente do evento complementar de C;
  5. \(P (A.). P(B.). P(C.) = P( A \cap B / C.)\)
Mostrar resposta e comentário

Gabarito

D

Comentário do professor

Seja dada a hipótese de que B é independente de C, isto é \(P(B\cap C)=P(B)\,P(C)\).

Queremos mostrar que B é independente de \(C^c\). Observe que \(B\) se decompõe em duas partes disjuntas: \(B=(B\cap C)\cup(B\cap C^c)\). Tomando probabilidades:

\(P(B)=P(B\cap C)+P(B\cap C^c)\). Substituindo \(P(B\cap C)=P(B)\,P(C)\) obtemos

\(P(B\cap C^c)=P(B)-P(B)\,P(C)=P(B)\,(1-P(C))=P(B)\,P(C^c)\).

Portanto \(P(B\cap C^c)=P(B)\,P(C^c)\), o que é exatamente a condição de independência entre B e o complementar de C. Assim, B é independente de \(C^c\).

Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em

Continue aprendendo