Um experimento é realizado a partir de três urnas, contendo bolas brancas e pretas com a seguinte composição: Urna I = 3 Brancas e 4 Pretas Urna II = 5 Brancas e 3 Pretas Urna III

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Do Urna III sai branca com prob. \(2/5\) (vai para a Urna I) ou preta com prob. \(3/5\) (vai para a Urna II).
Se a primeira foi branca, a Urna I fica com 4 brancas e 4 pretas → prob. da segunda ser branca \(=1/2\).
Se a primeira foi preta, a Urna II fica com 5 brancas e 4 pretas → prob. da segunda ser branca \(=5/9\).

Queremos \(P(\text{1ª preta} \mid \text{2ª branca})\). Pelo Teorema de Bayes:

\(P=\dfrac{P(\text{2ª branca}\mid\text{1ª preta})P(\text{1ª preta})}{P(\text{2ª branca}\mid\text{1ª preta})P(\text{1ª preta})+P(\text{2ª branca}\mid\text{1ª branca})P(\text{1ª branca})}\)

Substituindo: \(P=\dfrac{\tfrac{5}{9}\cdot\tfrac{3}{5}}{\tfrac{5}{9}\cdot\tfrac{3}{5}+\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{2}{5}}=\dfrac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{5}}=\dfrac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{8}{15}}=\dfrac{5}{8}.\)

Resposta: \(5/8\) — ou seja, dada a segunda bola branca, a probabilidade de a primeira ter sido preta é 5/8.