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Questão FC334611

Considere o seguinte problema de Análise Combinatória: “Pretende-se formar um trio de pessoas escolhendo-se indivíduos de um grupo formado por m mulheres e ℎ homens. Quantos trios

Probabilidade

FGV · 2023

Considere o seguinte problema de Análise Combinatória:


“Pretende-se formar um trio de pessoas escolhendo-se indivíduos de um grupo formado por m mulheres e ℎ homens. Quantos trios distintos podem ser formados de modo que haja, ao menos, uma mulher?”

 

A seguir, são apresentadas 3 soluções.

 

Solução I:
– primeiro, escolha uma mulher: m possibilidades;
– em seguida, escolha 2 pessoas entre as que restaram: \(C^2_{m+h-1}\) possibilidades;
– resposta: \(m \times C^2_{m+h-1}\)

 

Solução II:
– primeiro, calcule o número de trios sem qualquer restrição: \(C^3_{m+h}\) possibilidades;
– em seguida, calcule o número de trios formados exclusivamente por homens: \(C^3_h\) possibilidades;
– resposta: \(C^3_{m+h}-C^3_m\)

 

Solução III:
– primeiro, calcule o número de trios com exatamente uma mulher: \(C^1_m \times C^2_h\) possibilidades;
– em seguida, calcule o número de trios com exatamente duas mulheres: \(C^2_m \times C^1_h\) possibilidades;
– por fim, calcule o número de trios formados exclusivamente por mulheres: \(C^3_m\) possibilidades
– resposta: \(C^1_m \times C^2_h + C^2_m \times C^1_h + C^{\frac{3}{m}}\)


Entre as soluções apresentadas,

  1. nenhuma é correta.
  2. apenas a III é correta.
  3. apenas I e II são corretas.
  4. apenas II e III são corretas.
  5. todas são corretas.
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Gabarito

B

Comentário do professor

A solução III separa em casos mutuamente exclusivos e exaustivos os trios que têm ao menos uma mulher.

Trios com exatamente uma mulher: escolha 1 mulher e 2 homens, total \(C^1_m\times C^2_h\).

Trios com exatamente duas mulheres: escolha 2 mulheres e 1 homem, total \(C^2_m\times C^1_h\).

Trios com três mulheres: escolha 3 mulheres, total \(C^3_m\).

Como esses três cenários são disjuntos e cobrem todas as possibilidades com pelo menos uma mulher, a contagem correta é a soma

\(C^1_m\times C^2_h + C^2_m\times C^1_h + C^3_m\), que é a resposta final.

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