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Questão FC334632

Para a realização de uma pesquisa de campo, uma amostra por conglomerados deverá ser extraída. São considerados como unidades da população os 27 estados brasileiros que, para essa

Probabilidade

FGV · 2017

Para a realização de uma pesquisa de campo, uma amostra por conglomerados deverá ser extraída. São considerados como unidades da população os 27 estados brasileiros que, para essa finalidade estão classificados como mais (11 UFs) ou menos (16 UFs) desenvolvidos.

 

Supondo que a amostra será de n = 5, a probabilidade de que sejam sorteados dois mais desenvolvidos e três menos desenvolvidos é de:

  1. \(8. \left ( \frac{11}{27} \right ) . \left ( \frac{10}{26} \right ) . \left ( \frac{11}{25} \right ). \left ( \frac{16}{24} \right ) . \left ( \frac{15}{23} \right )\)

  2. \(\left ( \frac{2}{1} \right )^2 \left ( \frac{3}{16} \right )^3\)

  3. \(\left ( \frac{11}{27} \right ) . \left ( \frac{10}{26} \right ) . \left ( \frac{16}{25} \right ) . \left ( \frac{15}{24} \right ) . \left ( \frac{14}{23} \right )\)

  4. \(10. \left ( \frac{11}{27} \right ) . \left ( \frac{10}{26} \right ) . \left ( \frac{16}{25} \right ) . \left ( \frac{15}{24} \right ) . \left ( \frac{14}{23} \right )\)

  5. \(\frac {(11!).(16!)} {27!}\)

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Gabarito

D

Comentário do professor

Temos uma amostra sem reposição de 5 UFs entre 27 (11 mais desenvolvidas e 16 menos). A expressão apresentada calcula a probabilidade de obter exatamente 2 mais desenvolvidas e 3 menos desenvolvidas.

O produto \( \left(\frac{11}{27}\right)\left(\frac{10}{26}\right)\left(\frac{16}{25}\right)\left(\frac{15}{24}\right)\left(\frac{14}{23}\right) \) corresponde à **probabilidade de uma sequência específica**: retirar, em seguida, duas UFs mais desenvolvidas e depois três menos desenvolvidas, sem reposição.

Como a ordem de seleção não importa, devemos multiplicar por **quantas sequências diferentes** levam ao mesmo resultado (2 mais e 3 menos). Esse número é \( \binom{5}{2}=10 \), que é o fator fora do produto.

Portanto a probabilidade buscada é \(10\cdot \left(\frac{11}{27}\right)\left(\frac{10}{26}\right)\left(\frac{16}{25}\right)\left(\frac{15}{24}\right)\left(\frac{14}{23}\right)\), equivalente à forma hipergeométrica \( \dfrac{\binom{11}{2}\binom{16}{3}}{\binom{27}{5}} \).

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