Questão FC365803
Com base nas informações, qual é a probabilidade de que o acusado seja de fato inocente, dado que a prova indicou sua inocência?
Probabilidade
Instituto Consulplan · 2025
Em determinado Tribunal de Justiça, um acusado é julgado por um certo tipo de crime. Antes de qualquer evidência ser apresentada, sabe-se que 30% da população comete esse tipo de crime. Durante o julgamento, uma prova forense é apresentada.
Essa prova tem as seguintes características:
\(\bullet\) Se o acusado é culpado, a prova identifica corretamente a culpa em 4/5 dos casos; e
\(\bullet\) Se o acusado é inocente, a prova identifica erroneamente a culpa em 1/4 dos casos.
Com base nas informações, qual é a probabilidade de que o acusado seja de fato inocente, dado que a prova indicou sua inocência?
- \(\dfrac {11} {13}.\)
- \(\dfrac {15} {19}.\)
- \(\dfrac {21} {40}.\)
- \(\dfrac {23} {25}.\)
- \(\dfrac {35} {39}.\)
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comece pelas probabilidades conhecidas: a probabilidade a priori de ser culpado é \(3/10\) e de ser inocente é \(7/10\). A prova, se o acusado for culpado, indica culpa em \(4/5\) (logo indica inocência em \(1/5\)); se for inocente, indica erroneamente culpa em \(1/4\) (logo indica inocência em \(3/4\)).
Queremos \(P(\text{inocente} \mid \text{prova indica inocência})\). Primeiro calcule a probabilidade conjunta de ser inocente e a prova indicar inocência: \( \tfrac{7}{10}\cdot\tfrac{3}{4} = \tfrac{21}{40}.\)
Em seguida, a probabilidade total de a prova indicar inocência é a soma dos dois caminhos: culpado e indicado inocente \(=\tfrac{3}{10}\cdot\tfrac{1}{5}\) mais inocente e indicado inocente \(=\tfrac{7}{10}\cdot\tfrac{3}{4}\), ou seja \( \tfrac{3}{10}\cdot\tfrac{1}{5} + \tfrac{7}{10}\cdot\tfrac{3}{4} = \tfrac{117}{200}.\)
Aplicando Bayes: \( \dfrac{\tfrac{21}{40}}{\tfrac{117}{200}} = \dfrac{105/200}{117/200} = \dfrac{35}{39}.\) Portanto, a probabilidade pedida é \(\tfrac{35}{39}\).
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