Questão FC365826
Para obter o controle de qualidade dos produtos da sua empresa, a administradora Raquele sempre observa uma certa variável X em cada produto. Após uma nova diretriz emitida por det
Variáveis Aleatórias
Instituto Consulplan · 2024
Para obter o controle de qualidade dos produtos da sua empresa, a administradora Raquele sempre observa uma certa variável X em cada produto. Após uma nova diretriz emitida por determinada agência regulamentadora, a variável que deve ser observada em cada produto é \(Y = { \large 3 \over 2} X + 2\). Considere que \(\mu\) e \(\sigma^2\) são, respectivamente, a média e variância da variável X. De acordo com o exposto, quais são, respectivamente, os valores da média e variância da variável Y?
- \({ \large 3 \over 2} \mu + 2\)e\({ \large 3 \over 2}\sigma^2\)
- \({ \large 3 \over 2}\mu^2\,e\,{ \large 3 \over 2}\sigma^2\)
- \({ \large 3 \over 2}\mu^2\,e\, { \large 9 \over 4}\sigma^2\)
- \({ \large 3 \over 2}\mu + 2\,e\, { \large 9 \over 4}\sigma^2\)
Mostrar resposta e comentário
Gabarito
D
Comentário do professor
A transformação é linear: \(Y=\tfrac{3}{2}X+2\). Para uma transformação \(Y=aX+b\) vale a regra da esperança e da variância.
A média é dada por \(\mathbb{E}(Y)=a\,\mathbb{E}(X)+b\). Aqui \(a=\tfrac{3}{2}\) e \(b=2\), portanto a média de Y é \(\tfrac{3}{2}\mu+2\).
A variância obedece \(\mathrm{Var}(Y)=a^2\mathrm{Var}(X)\), pois o termo constante não altera a dispersão.
Substituindo \(a=\tfrac{3}{2}\) e \(\mathrm{Var}(X)=\sigma^2\) obtém‑se \(\mathrm{Var}(Y)=\big(\tfrac{3}{2}\big)^2\sigma^2=\tfrac{9}{4}\sigma^2\).
Conclusão: \(\mathbb{E}(Y)=\tfrac{3}{2}\mu+2\) e \(\mathrm{Var}(Y)=\tfrac{9}{4}\sigma^2\), conforme a alternativa correta.
Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em