Questão FC365842
Considerando que E(X) = 6 minutos, qual o tempo mediano gasto pelo funcionário de telemarketing no atendimento de um cliente?
Principais Distribuições Contínuas
Instituto Consulplan · 2024
Seja X uma variável aleatória que representa o tempo (em minutos) que um funcionário de telemarketing gasta atendendo um cliente. A partir de dados históricos, sabe-se que essa variável aleatória tem distribuição exponencial com a seguinte função densidade de probabilidade:
\(f(x)=λe^{-λx}\), \(x > 0\).
Considerando que E(X) = 6 minutos, qual o tempo mediano gasto pelo funcionário de telemarketing no atendimento de um cliente?
- \(\large{ln(2) \over 6}\)
- \(\large{6 \over ln(2)}\)
- \(6 ln(2)\)
- 6
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Para a distribuição exponencial vale \(E(X)=\dfrac{1}{\lambda}\). Esse é o valor esperado, que nos permite encontrar o parâmetro \(\lambda\).
Como \(E(X)=6\), obtemos \(\lambda=\dfrac{1}{6}\).
A mediana \(m\) satisfaz \(P(X\le m)=0{,}5\). Usando a função distribuição acumulada da exponencial,
\(1-e^{-\lambda m}=0{,}5\) → \(e^{-\lambda m}=0{,}5\).
Tirando logaritmo: \(-\lambda m=\ln(0{,}5)=-\ln 2\), logo \(m=\dfrac{\ln 2}{\lambda}\).
Substituindo \(\lambda=\dfrac{1}{6}\), obtemos \(m=6\ln 2\). Portanto, o tempo mediano é 6 ln(2) minutos.
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