Questão FC365849
Ao se considerar um modelo linear de dados transformados para encontrar as constantes \(\alpha\) e \(\beta\) do modelo de regressão não linear \(y= ae^{ \beta\,x}\) que melhor se a
Característica dos Estimadores
Instituto Consulplan · 2024
Ao se considerar um modelo linear de dados transformados para encontrar as constantes \(\alpha\) e \(\beta\) do modelo de regressão não linear \(y= ae^{ \beta\,x}\) que melhor se ajusta aos dados (x1, y1), … , (xn, yn), a soma dos quadrados dos resíduos que deve ser minimizada é dada por:
- \(\sum_{i=1}^n ( y_i - ae^{ \beta x_i})^2\)
- \(\sum_{i=1}^n ( y_i - In( \alpha) - \beta x_i)^2\)
- \(\sum_{i=1}^n ( In(y_i) - In( \alpha) - \beta x_i)^2\)
- \(\sum_{i=1}^n ( In(y_i) - (In( \alpha) - \beta In ( x_i))^2\)
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
O modelo \(y=\alpha e^{\beta x}\) é convertido em forma linear aplicando o logaritmo natural: \(\ln(y)=\ln(\alpha)+\beta x\). Esse passo é o fundamento da linearização e transforma o ajuste em um problema de regressão linear simples.
Na regressão linear, os parâmetros são obtidos minimizando a soma dos quadrados dos resíduos, isto é, as diferenças entre os valores observados da variável dependente e os valores previstos pelo modelo.
Aplicando isso ao modelo transformado, consideramos os pares \((\ln(y_i),x_i)\) e minimizamos
\(\sum_{i=1}^n (\ln(y_i)-\ln(\alpha)-\beta x_i)^2\),
onde \(\ln(\alpha)\) atua como intercepto e \(\beta\) como coeficiente angular na regressão entre \(\ln(y)\) e \(x\). Note que é necessário \(y_i>0\) para usar \(\ln(y_i)\).
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