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Questão FC365850

Uma amostra aleatória de 8 valores da variável Z resultou nas seguintes observações: 0,35; 0,24; 0,48; 0,54; 0,36; 0,28; 0,21; e, 0,66. De acordo com os resultados obtidos por essa

Característica dos Estimadores

Instituto Consulplan · 2024

Considere que a variável aleatória Z apresenta a seguinte função densidade de probabilidade:

 

\(f(z) = { \begin{cases} { \large 2z \over 1 - a^2}, se\, a\,\le\,z < 1;\\0,\,\,\,\,\,\,\,caso\,contrário. \end{cases}}\)

Uma amostra aleatória de 8 valores da variável Z resultou nas seguintes observações: 0,35; 0,24; 0,48; 0,54; 0,36; 0,28; 0,21; e, 0,66. De acordo com os resultados obtidos por essa amostra, qual a estimativa para �� obtida a partir do método de máxima verossimilhança?

  1. 0,21.
  2. 0,24.
  3. 0,36.
  4. 0,66.
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Gabarito

A

Comentário do professor

A função verossimilhança para a amostra é \(L(a)=\prod_{i=1}^8 f(z_i;a)=\dfrac{\prod_{i=1}^8 2z_i}{(1-a^2)^8}\), desde que \(a\le \min\{z_i\}\); caso contrário \(L(a)=0\).

Note que \(\prod_{i=1}^8 2z_i\) é constante em relação a \(a\). Assim, para \(a<1\) a verossimilhança é proporcional a \((1-a^2)^{-8}\), que cresce quando \(a\) aumenta (pois \(1-a^2\) diminui com \(a\)). Portanto, o máximo de \(L(a)\) ocorre no maior valor de \(a\) permitido pela restrição \(a\le z_i\) para todos os \(i\).

Logo, a estimativa de máxima verossimilhança é o mínimo da amostra, que é \(0{,}21\).

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