Questão FC365851
O modelo de regressão linear simples pode ser usado para estimar a relação entre a média de uma variável dependente \(Y\) (por exemplo, o tempo de tramitação de processos) e uma va
Característica dos Estimadores
Instituto Consulplan · 2025
O modelo de regressão linear simples pode ser usado para estimar a relação entre a média de uma variável dependente \(Y\) (por exemplo, o tempo de tramitação de processos) e uma variável explicativa \(X\) (por exemplo, carga de trabalho do Juiz ou o número de partes envolvidas) com base na informação de dados amostrais. Considerando \(Y_1, \, Y_2, ... , Y_n\) como variáveis aleatórias independentes, tal que \(Y_i \mid X_i \, \sim \, Normal( \beta \, X_i, \, \sigma^2),\) onde \(X_i\) é conhecido para todo \(i \, = \, 1,...,n,\) assinale, a seguir, a alternativa que representa uma estatística conjuntamente suficiente para os parâmetros \(\beta\) e \(\sigma^2.\)
- \((\sum^n_{i \, = \, 1} \, Y^2_i, \, \sum^n_{i \, = \, 1} \, X^2_i).\)
- \((\sum^n_{i \, = \, 1} \, Y_iX_i, \, \sum^n_{i \, = \, 1} \, Y_i).\)
- \((\sum^n_{i \, = \, 1} \, Y_iX_i, \, \sum^n_{i \, = \, 1} \, Y_i^2).\)
- \((\sum^n_{i \, = \, 1} \, Y^2_i \, , \, \sum^n_{i \, = \, 1} \, X^2_i \, , \, \sum^n_{i \, = \, 1} \, Y_i X_i).\)
- \((\sum^n_{i \, = \, 1} \, Y_i \, X_i \, , \, \sum^n_{i \, = \, 1} \, Y_i \, , \, \sum^n_{i \, = \, 1} \, X_i).\)
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
No modelo \(Y_i\mid X_i\sim Normal(\beta X_i,\sigma^2)\) a verossimilhança é \(L(\beta,\sigma^2)\propto(\sigma^2)^{-n/2}\exp\left\{-\dfrac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n (Y_i-\beta X_i)^2\right\}.\)
Ao expandir o quadrado obtemos \(\sum_{i=1}^n (Y_i-\beta X_i)^2=\sum_{i=1}^n Y_i^2-2\beta\sum_{i=1}^n Y_iX_i+\beta^2\sum_{i=1}^n X_i^2.\)
Como os \(X_i\) são conhecidos, \(\sum X_i^2\) é constante e não traz informação sobre \(\beta,\sigma^2\). Portanto a parte da verossimilhança que depende dos parâmetros envolve apenas \(\sum Y_i^2\) e \(\sum Y_iX_i\).
Pelo Teorema da Fatorização, a estatística conjunta \(\left(\sum_{i=1}^n Y_iX_i,\;\sum_{i=1}^n Y_i^2\right)\) é suficiente para \(\beta\) e \(\sigma^2\).
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