Questão FC365853
Sabe-se que a altura dos estudantes de uma universidade é modelada por uma distribuição normal com média desconhecida e desvio-padrão de 12 cm. Em um primeiro estudo, a partir de u
Intervalos de Confiança
Instituto Consulplan · 2024
Sabe-se que a altura dos estudantes de uma universidade é modelada por uma distribuição normal com média desconhecida e desvio-padrão de 12 cm. Em um primeiro estudo, a partir de uma amostra com 64 estudantes dessa universidade, construiu-se o intervalo de confiança [167,54 ; 172,46] para a média populacional. Em um segundo estudo, uma amostra de tamanho 4 vezes maior foi coletada e foi obtida a mesma média amostral. Usando o mesmo nível de confiança do intervalo construído no primeiro estudo, o intervalo de confiança para a média populacional associado ao segundo estudo é dado por:
- [167,96 ; 172,04]
- [168,24 ; 171,76]
- [168,77 ; 171,23]
- [169,02 ; 170,98]
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
A solução baseia-se na fórmula do intervalo quando \(\sigma\) é conhecido: \(\bar{x}\pm z\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\). Como o nível de confiança é o mesmo, o valor de \(z\) permanece.
Do primeiro estudo extraímos a margem de erro: \(ME=\frac{172,46-167,54}{2}=2,46\). A média amostral é \(\bar{x}=\frac{167,54+172,46}{2}=170\).
No segundo estudo o tamanho da amostra é \(n_2=4\cdot 64=256\), logo \(\sqrt{n_2}=2\sqrt{64}\). Como o erro padrão é \(\sigma/\sqrt{n}\), ao quadruplicar \(n\) o erro padrão (e, portanto, o ME) fica pela metade:
\(ME_{novo}=ME/2=2,46/2=1,23\).
Assim, o novo intervalo é \(170\pm1,23\), ou seja \([168,77;171,23]\), que corresponde à alternativa correta.
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