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Questão FC365856

Considere que a média histórica da quantidade de processos pendentes em determinado setor de um Tribunal de Justiça é de 10 processos por mês. Sabe-se que a variável \(X,\) número

Testes de Hipóteses

Instituto Consulplan · 2025

Considere que a média histórica da quantidade de processos pendentes em determinado setor de um Tribunal de Justiça é de 10 processos por mês. Sabe-se que a variável \(X,\) número de processos pendentes por mês no setor, segue uma distribuição normal com média \(\mu\) e variância 4. Devido a mudanças recentes na estrutura do Tribunal, acredita-se que o número médio de processos pendentes mensalmente no setor possa ter aumentado. Define-se um teste para as hipóteses \(H_0: \, \mu \, = \, 10\) contra \(H_1: \, \mu \, = \, 13.\) Para uma amostra aleatória de tamanho \(n \, = \, 9\) de \(X,\) considere o critério que rejeita \(H_0\) se a média amostral for maior ou igual a 12.

 

As probabilidades do erro do tipo I e do tipo II para esse critério são dadas, respectivamente, por: (Observação: \(\Phi \, (z) \, = \, P(Z \, \le \, z),\) onde \(Z \, \sim \, Normal \, (0,1.)\)

  1. 1 − \(\Phi\)(3,0) e 1 − \(\Phi\)(1,5).
  2. \(\Phi\)(−3,0) e 1 − \(\Phi\)(−1,5).
  3. 1 − \(\Phi\)(1,0) e \(\Phi\)(−0,5).
  4. \(\Phi\)(−1,5) e 1 − \(\Phi\)(3,0).
  5. 1 − \(\Phi\)(1,5) e \(\Phi\)(−0,75).
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Gabarito

A

Comentário do professor

\(X\sim N(\mu,4)\), logo o desvio padrão é 2. Com amostra de tamanho \(n=9\), a média amostral satisfaz \( \overline{X}\sim N\!\left(\mu,\dfrac{4}{9}\right)\) e seu desvio padrão é \(\sigma_{\overline{X}}=\dfrac{2}{3}\).

O critério do teste é rejeitar \(H_0\) se \(\overline{X}\ge 12\).

Erro Tipo I: probabilidade de rejeitar \(H_0\) quando \(\mu=10\). Calcula-se \(P(\overline{X}\ge12\mid\mu=10)=P\!\left(Z\ge\dfrac{12-10}{2/3}\right)=P(Z\ge3)=1-\Phi(3).\)

Erro Tipo II: probabilidade de não rejeitar \(H_0\) quando \(\mu=13\). Calcula-se \(P(\overline{X}<12\mid\mu=13)=P\!\left(Z<\dfrac{12-13}{2/3}\right)=P(Z<-1{,}5)=\Phi(-1{,}5)=1-\Phi(1{,}5).\)

Assim, as probabilidades são 1−Φ(3) (Tipo I) e 1−Φ(1,5) (Tipo II).

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