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Questão FC365875

Determinado Ministério Público Estadual coletou dados nas 53 comarcas do Estado com o intuito de estudar a relação entre o tempo médio (Y), em dias, gasto na triagem inicial de den

Regressão

Instituto Consulplan · 2024

Determinado Ministério Público Estadual coletou dados nas 53 comarcas do Estado com o intuito de estudar a relação entre o tempo médio (Y), em dias, gasto na triagem inicial de denúncias de abuso recebidas pela comarca e duas variáveis explicativas: o número de servidores lotados no setor responsável por avaliar as denúncias na comarca (X1); e o número de municípios atendidos pela comarca (X2). Considere o ajuste do modelo de regressão linear múltipla \(Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_1i + \beta_2 X_{2i} + \varepsilon_i\) onde \(i =1, \cdots, 53\,e\,\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_{53}\) são erros independentes com \(\varepsilon_ i \sim N (0, \sigma^2)\) para todo i. Os seguintes resultados foram obtidos pelo método de máxima verossimilhança: \(\hat{ \beta}_0 = 21,5, \hat{ \beta}_1 = 2,8\,e\, \hat{ \beta}_2 = 3,5\). Adicionalmente, tem-se que  \(SQ_{regressão} = 346,5\,e\,SQ_{Resíduos} =185,5\). Com base nessas informações, é correto afirmar que:

  1. O estimador de máxima verossimilhança para \(\sigma^2\) será igual a 3,5.
  2. O modelo ajustado é capaz de explicar mais de 70% da variabilidade de Y.
  3. Os valores estimados para \(\beta_0, \beta_1\) e \(\beta_2\)  seriam diferentes se o método de mínimos quadrados fosse utilizado.
  4. Se em vez de X1 e X2 o ajuste considerasse as variáveis explicativas \(Z_{1i} = X_{1i} - \bar{X}_1\) e \(Z_{2i} - \bar{X}_2\), onde \(\bar{X}_1\) \(\bar{X}_2\) representam as médias amostrais de X1 e X2, respectivamente, os valores estimados para \(\beta_1\) e \(\beta_2\) seriam diferentes.
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Gabarito

A

Comentário do professor

O estimador de máxima verossimilhança para a variância dos erros em regressão linear com erros normais (viesado) é dado por \( \hat{\sigma}^2 = \dfrac{SQ_{\text{Resíduos}}}{n} \), onde \(SQ_{\text{Resíduos}}\) é a soma dos quadrados dos resíduos e \(n\) é o número de observações.

Na questão, tem‑se \(SQ_{\text{Resíduos}} = 185{,}5\) e \(n=53\). Substituindo, obtém‑se

\( \hat{\sigma}^2 = \dfrac{185{,}5}{53} = 3{,}5\).
Portanto, o estimador de máxima verossimilhança para \(\sigma^2\) é igual a 3,5.

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