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Questão FC365889

Cada processo recebido em um Tribunal de Justiça passa por uma etapa de triagem inicial. Considere que o tempo de tramitação (em semanas) do processo nessa etapa pode ser modelado

Lei dos Grandes Números e Teorema do Limite Central

Instituto Consulplan · 2025

Cada processo recebido em um Tribunal de Justiça passa por uma etapa de triagem inicial. Considere que o tempo de tramitação (em semanas) do processo nessa etapa pode ser modelado como uma variável aleatória com distribuição exponencial cuja média é igual a 1. Seja \(Y_1, \, Y_2,..., \, Y_n\) uma amostra aleatória independente e identicamente distribuída de tamanho \(n,\) em que \(Y_i\) representa o tempo de triagem inicial do processo \(i\) para \(i \, = \, 1,..., \, n.\) Se \(\overline {Y_n} \, = \, \dfrac {1} {n} \, \sum^n_{i=1} \, Y_i,\) então, o valor de \(n\) para que \(P(\mid \overline{Y_n} \, - \, 1 \mid > \, 0,01) \, = \, 0,05\) é, aproximadamente, igual a: (Dados: Se \(Z \, \sim \, N (0,1),\) então P(Z > 1,28) = 0,10, P(Z > 1,64) = 0,05, P(Z > 1,96) = 0,025 e P(Z > 2,33) = 0,01.)

  1. 273.
  2. 385.
  3. 581.
  4. 631.
  5. 665.
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Gabarito

B

Comentário do professor

Cada \(Y_i\) tem \(E(Y_i)=1\) e \(\operatorname{Var}(Y_i)=1\). A média amostral \(\overline{Y}_n\) tem \(E(\overline{Y}_n)=1\) e \(\operatorname{Var}(\overline{Y}_n)=1/n\); o desvio-padrão é \(1/\sqrt{n}\).


Pelo Teorema Central do Limite \(\overline{Y}_n\approx N(1,1/n)\). Queremos \(P(|\overline{Y}_n-1|>0{,}1)=0{,}05\) (nota: o cálculo que leva a 385 usa \(0{,}1\) como margem). Assim:


\(2P\!\left(Z>0{,}1\sqrt{n}\right)=0{,}05\Rightarrow P\!\left(Z>0{,}1\sqrt{n}\right)=0{,}025\). Como \(z_{0{,}975}=1{,}96\), tem-se \(0{,}1\sqrt{n}=1{,}96\).


Logo \(\sqrt{n}=19{,}6\) e \(n\approx19{,}6^2=384{,}16\), arredondando para inteiro: n ≈ 385.

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