Questão FC365890
Magda é auxiliar administrativa em uma repartição pública e trabalha no setor de processos. As variáveis aleatórias que representam os tempos utilizados por Magda para cadastrar os
Lei dos Grandes Números e Teorema do Limite Central
Instituto Consulplan · 2024
Magda é auxiliar administrativa em uma repartição pública e trabalha no setor de processos. As variáveis aleatórias que representam os tempos utilizados por Magda para cadastrar os processos no sistema da instituição são independentes e possuem a mesma distribuição, com valor esperado e variância dados por 20 minutos e 16 minutos², respectivamente. Se o teorema central do limite for utilizado, qual a probabilidade aproximada de que Magda utilize, no máximo, 450 minutos para cadastrar 25 processos?
(Observação: \(\phi(z) = P(Z \ge z),\) onde \(Z \sim N(0,1).)\)
- \(\phi\)(0,125)
- 1 − \(\phi\)(0,125)
- \(\phi\)(2,5)
- 1 − \(\phi\)(2,5)
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Gabarito
D
Comentário do professor
Seja \(X_i\) o tempo para cadastrar o i-ésimo processo, com \(\mathbb{E}(X_i)=20\) e \(\mathrm{Var}(X_i)=16\). Como as variáveis são independentes e i.i.d., a soma \(S_{25}=\sum_{i=1}^{25}X_i\) tem média \(\mathbb{E}(S_{25})=25\cdot20=500\) e variância \(\mathrm{Var}(S_{25})=25\cdot16=400\), logo desvio padrão \(\sigma_{S_{25}}=20\).
Pelo Teorema Central do Limite, \(S_{25}\) é aproximada por \(N(500,400)\). Queremos \(P(S_{25}\le450)\).
Padronizando: \(Z=\dfrac{S_{25}-500}{20}\), então para 450 temos \(Z=\dfrac{450-500}{20}=-2{,}5\). Assim
\(P(S_{25}\le450)=P(Z\le-2{,}5)\). Como \(\phi(z)=P(Z\ge z)\), temos \(P(Z\le-2{,}5)=1-\phi(2{,}5)\), que é a expressão da alternativa correta.
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