Se a e b são dois números reais não nulos, sua média harmônica é definida como \(\large { 2 \over \large { 1 \over a} + { \large 1 \over b}}\). Qual deve ser a relação entre a e b

Gabarito

D

Comentário do professor

Igualando a Média Harmônica \(H=\dfrac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\) à Média Aritmética \(A=\dfrac{a+b}{2}\), temos:

\(\dfrac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\dfrac{a+b}{2}\).

Multiplicando ambos os lados por \(2\) e pelo denominador \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\) obtemos

\(4=(a+b)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)=\dfrac{a^2+2ab+b^2}{ab}\).

Multiplicando por \(ab\) resulta

\(4ab=a^2+2ab+b^2\),

ou ainda

\(a^2-2ab+b^2=0\), isto é \((a-b)^2=0\).

Como o quadrado de um número é zero somente quando o número é zero, segue que \(a-b=0\), logo b = a. Note que a condição inicial de \(a\) e \(b\) não nulos garante validade das operações.