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Questão FC449990

Qual deve ser a relação entre a e b, de forma que MQ = MA?

Estatística Descritiva

Instituto Verbena · 2023

Dados dois números reais positivos a e b, sua média quadrática, MQ, e sua média aritmética, MA, são definidas, respectivamente, como: \(\sqrt { \dfrac { a^2 \, + \, b^2} {2}\) e \(\dfrac {a \, + \, b} {2}.\)

 

Qual deve ser a relação entre a e b, de forma que MQ = MA?

  1. \(a \, = \, b\)
  2. \(a \, = \, 2b\)
  3. \(a \, = \, \sqrt {b}\)
  4. \(a \, = \, 2 \sqrt {b}\)
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Gabarito

A

Comentário do professor

Procedimento: Igualando as médias \( \sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}} = \dfrac{a+b}{2} \) e observando que ambos os lados são não negativos, podemos elevar ao quadrado sem alterar a solução.

Elevar ao quadrado: \( \dfrac{a^2+b^2}{2} = \left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2 \). Multiplicando por 4 resulta em \(2(a^2+b^2)=(a+b)^2\).

Expandindo e rearranjando obtemos \(2a^2+2b^2=a^2+2ab+b^2\), isto é \(a^2-2ab+b^2=0\).

Conclusão: A expressão acima é \((a-b)^2=0\), cuja única solução é \(a=b\). Portanto, para que MQ seja igual a MA é necessário e suficiente que \(a=b\).

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