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Questão FC450015

Considere 3 eventos A, B e C de um mesmo espaço amostral \(\Omega.\) Pelos axiomas da Probabilidade, \(P(A \, \cup \, B \, \cup \, C)\) é dada por

Probabilidade

Instituto Verbena · 2024

Considere 3 eventos A, B e C de um mesmo espaço amostral \(\Omega.\)

 

Pelos axiomas da Probabilidade, \(P(A \, \cup \, B \, \cup \, C)\) é dada por

  1. \(P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cup B) - P(A \cup C) - P(B \cup C) - P(A \cap B \cap C).\)
  2. \(P(A) + P(B) + P(C) + P(A \cap B) + P(A \cap C) + P(B \cap C) - P(A \cap B \cap C).\)
  3. \(P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C).\)
  4. \(P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cup B) - P(A \cup C) - P(B \cup C) + P(A \cap B \cap C).\)
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Gabarito

Certo

Comentário do professor

A expressão correta decorre do Princípio da inclusão e exclusão, aplicado aos eventos A, B e C.

Se somarmos \(P(A)+P(B)+P(C)\) estaremos incluindo as probabilidades, mas as áreas de sobreposição entre pares ficam contadas duas vezes.

Para corrigir isso, subtraímos as interseções de pares: \(-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)\). Isso elimina a dupla contagem, mas também remove excessivamente a parte comum aos três eventos.

Como a região \(A\cap B\cap C\) foi subtraída três vezes, precisamos reintroduzi‑la uma vez, somando \(+P(A\cap B\cap C)\).

Assim obtemos \(P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C)\), que é a forma final.

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