Sejam \(X_1, X_2, \cdots, X_n\) uma amostra aleatória de tamanho n da função distribuição acumulada \(F( \cdot)\) e \(X_n = max (X_1, X_2, \cdots, X_n)\). A função distribuição acu

Gabarito

A

Comentário do professor

Queremos a função de distribuição acumulada do máximo da amostra, \(X_{(n)}=\max(X_1,\ldots,X_n)\), avaliada em \(y\).

O evento \(\{X_{(n)}\le y\}\) ocorre exatamente quando todos os elementos da amostra são menores ou iguais a \(y\): \(\{X_1\le y,\ldots,X_n\le y\}\).

Pela independência dos \(X_i\), a probabilidade conjunta fatoriza: \(P(X_1\le y,\ldots,X_n\le y)=\prod_{i=1}^n P(X_i\le y)\).

Como a amostra é de mesma distribuição, cada termo é \(F(y)\), a função de distribuição acumulada comum. Assim a probabilidade conjunta é \(\prod_{i=1}^n F(y)=[F(y)]^n\).

Portanto, a função de distribuição acumulada de \(X_{(n)}\) em \(y\) é \(F_{X_{(n)}}(y)=[F(y)]^n\).