Seja X uma variável aleatória com \(E(X) = \mu\) e c um número real. Considere \(E(X- c)^2\) finita e c qualquer número positivo. Nestas condições, a desigualdade de Tchebychev é d

Gabarito

A

Comentário do professor

A Desigualdade de Tchebychev na forma apresentada afirma que, para qualquer \(c\in\mathbb{R}\) e \(\varepsilon>0\) com \(E[(X-c)^2]<\infty\), vale

\(P(|X-c|\ge\varepsilon)\le\frac{E[(X-c)^2]}{\varepsilon^2}\).

A demonstração é direta aplicando a Desigualdade de Markov à variável não negativa \(Y=(X-c)^2\). Temos

\(P(|X-c|\ge\varepsilon)=P(Y\ge\varepsilon^2)\le\frac{E[Y]}{\varepsilon^2}=\frac{E[(X-c)^2]}{\varepsilon^2}.\)

Assim obtemos uma cota universal para a probabilidade de desvios de \(c\). No caso particular \(c=\mu=E(X)\), o numerador é a variância \( \operatorname{Var}(X)\).

Gabarito: Letra A