Considere que X é uma variável aleatória que apresenta função de probabilidade dada por P (X = x) = \(\dfrac{e^{-λ}λ^x}{x!}\), para \(x\) = 0,1, … e \(λ\) > 0. A esperança e a vari

Gabarito

Certo

Comentário do professor

A função dada é a da distribuição de Poisson, em que o parâmetro λ representa a média de ocorrências no intervalo considerado.

Para a esperança, calculamos \(E(X)=\sum_{x=0}^{\infty} x\,P(X=x)=\sum_{x=1}^{\infty} x e^{-λ}\dfrac{λ^x}{x!}\). Fazendo a troca de índice \(k=x-1\) obtém-se \(E(X)=λ e^{-λ}\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{λ^{k}}{k!}=λ\).

Para a variância, usa-se a identidade \(E(X(X-1))=λ^2\) para Poisson. Então \(E(X^2)=E(X(X-1))+E(X)=λ^2+λ\), e assim \(\text{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=λ.\)

Portanto, a esperança e a variância são ambas iguais a λ.