Quando um vetor X tem distribuição normal p-variada, qualquer subconjunto de k-variáveis de X, K < p, terá distribuição

Gabarito

A

Comentário do professor

Seja \(\mathbf{X}\sim N_p(\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma})\). Ao selecionar um subconjunto de \(k\) componentes, podemos representar essa seleção por uma matriz de seleção \(A\) de dimensão \(k\times p\) que extrai as variáveis desejadas.

Como a distribuição normal multivariada é estável por transformações lineares, o vetor \(\mathbf{Y}=A\mathbf{X}\) é também normal. Assim, \(\mathbf{Y}\sim N_k(A\boldsymbol{\mu},\,A\boldsymbol{\Sigma}A^\top)\).

No caso de simplesmente escolher \(k\) coordenadas, \(A\boldsymbol{\mu}\) corresponde ao vetor das médias dessas coordenadas e \(A\boldsymbol{\Sigma}A^\top\) é a matriz de covariância correspondente.

Portanto, qualquer subconjunto de \(kdistribuição normal k-variada, com média e covariância obtidas por extração das componentes de \(\boldsymbol{\mu}\) e \(\boldsymbol{\Sigma}\).