Seja X uma variável aleatória com função geradora de momentos dada por \(M(t) = exp \left( { \large t^2 \over 2} \right )\). Qual o valor esperado da variável aleatória X?

Gabarito

A

Comentário do professor

Valor esperado de uma variável aleatória pode ser obtido a partir da função geradora de momentos (MGF) \(M_X(t)=E[e^{tX}]\). A propriedade útil é \(E[X]=M'_X(0)\), ou seja, basta derivar a MGF e avaliar em \(t=0\).

Aqui a MGF é \(M(t)=\exp\!\left(\dfrac{t^2}{2}\right)\). Aplicando a regra da cadeia, a derivada é \(M'(t)=t\exp\!\left(\dfrac{t^2}{2}\right)\).

Avaliar em \(t=0\) dá \(M'(0)=0\cdot\exp(0)=0\). Portanto, o valor esperado de \(X\) é \(0\).

Observação rápida: essa MGF é a da distribuição Normal padrão \(N(0,1)\), cuja média é zero, o que confirma o resultado.