Sejam X e Y variáveis aleatórias. O valor da \(E(E(X|Y))\) é igual a

Gabarito

A

Comentário do professor

A resposta correta é E(X) pela Lei da Expectativa Total. A esperança condicional \(E(X|Y)\) é uma variável aleatória que dá a média de \(X\) quando se conhece \(Y\).

Tomando a esperança de \(E(X|Y)\) sobre a distribuição de \(Y\) obtemos a esperança incondicional. No caso discreto, com valores \(x_i\) e \(y_j\):

\(E(X|Y=y_j)=\sum_i x_i\,P(X=x_i\mid Y=y_j)\).

Portanto

\(E(E(X|Y))=\sum_j E(X|Y=y_j)\,P(Y=y_j)=\sum_j\sum_i x_i\,P(X=x_i\mid Y=y_j)P(Y=y_j)\).

Reagrupando e usando \(P(X=x_i,Y=y_j)=P(X=x_i\mid Y=y_j)P(Y=y_j)\) vem

\(E(E(X|Y))=\sum_i x_i\sum_j P(X=x_i,Y=y_j)=\sum_i x_i\,P(X=x_i)=E(X)\).