Questão FC450061
Considere uma amostra de tamanho n da distribuição uniforme contínua definida no intervalo \((0, \, \theta),\) com \(\theta \, > \, 0.\) Qual é o estimador de máxima verossimilhanç
Característica dos Estimadores
Instituto Verbena · 2023
Considere uma amostra de tamanho n da distribuição uniforme contínua definida no intervalo \((0, \, \theta),\) com \(\theta \, > \, 0.\)
Qual é o estimador de máxima verossimilhança para o parâmetro \(\theta ?\)
- \((\sum^n_{i=1} \, x_i) / n\)
- \(min (x_1,...,x_n)\)
- \(max (x_1,...,x_n)\)
- \(0,5 [min(x_1,...,x_n) \, + \, max(x_1,...,x_n)]\)
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
A densidade da uniforme em (0, \(\theta\)) é \(f(x;\theta)=1/\theta\) para \(0amostra de tamanho \(n\), a função de verossimilhança é
\(L(\theta)=\prod_{i=1}^n \frac{1}{\theta}=\theta^{-n}\), desde que todos os \(x_i<\theta\); caso contrário \(L(\theta)=0\).
Como \(\theta^{-n}\) é decrescente em \(\theta\), a verossimilhança é maior quanto menor for \(\theta\), desde que respeite a condição \( \theta\ge \max(x_1,\dots,x_n)\).
Portanto, o menor valor admissível de \(\theta\) que mantém \(L(\theta)>0\) é \(\max(x_1,\dots,x_n)\).
Conclui-se que o estimador de máxima verossimilhança é \(\hat{\theta}_{MLE}=\max(x_1,\dots,x_n)\).
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