Sejam \(f (x; \theta)\) a função densidade de probabilidade, com \(\theta\) unidimensional, \(\hat {\theta}\) o estimador de máxima verossimilhança e \(g (.)\) uma função monótona.

Gabarito

A

Comentário do professor

A propriedade da invariância do estimador de máxima verossimilhança afirma que, se \(\hat{\theta}\) maximiza a verossimilhança \(L(\theta)\), então aplicar uma função monótona \(g\) a \(\hat{\theta}\) fornece o estimador de máxima verossimilhança para \(g(\theta)\).

Formalmente, escreva \(\phi=g(\theta)\). Como \(g\) é monótona, existe \(g^{-1}\) sobre a imagem de \(g\) e podemos ver a verossimilhança em função de \(\phi\) como \(L^*(\phi)=L(g^{-1}(\phi))\). O valor que maximiza \(L^*(\phi)\) é \(\phî=g(\hat{\theta})\), pois \(\hat{\theta}=\arg\max_\theta L(\theta)\).

Portanto, o estimador de máxima verossimilhança para \(g(\theta)\) é \( \mathbf{g(\hat{\theta})} \).
Essa conclusão vale tanto para funções monotonicamente crescentes quanto decrescentes, desde que sejam monotônicas (invertíveis na imagem considerada).