Questão FC450080
Considere um modelo de regressão linear múltipla dado por \(Y = X \beta + \varepsilon\), em que Y é um vetor de dimensão \(n\,x\,1\), X tem dimensão \(n × p\), com as colunas linea
Regressão
Instituto Verbena · 2024
Considere um modelo de regressão linear múltipla dado por \(Y = X \beta + \varepsilon\), em que Y é um vetor de dimensão \(n\,x\,1\), X tem dimensão \(n × p\), com as colunas linearmente independentes, \(\beta\) é desconhecido com dimensão \(p × 1\) e o valor esperado de \(\varepsilon\) é igual a 0. A estimativa de mínimos quadrados para \(\beta\) é dada por
- \(( X^\prime\,Y)^{-1} X^\prime\,Y\)
- \(( Y^\prime\,X)^{-1}X^\prime\,Y\)
- \(( X^\prime\,X)^{-1} X^\prime\,Y\)
- \(( Y^\prime\,Y)^{-1} X^\prime\,Y\)
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
A fórmula correta para o estimador de mínimos quadrados ordinários é \( \hat{\beta} = (X^\prime X)^{-1} X^\prime Y \).
Obtém-se minimizando a soma dos quadrados dos resíduos \(S(\beta)=(Y-X\beta)^\prime(Y-X\beta)\). Derivando em relação a \(\beta\) e igualando a zero surgem as equações normais: \(X^\prime X\,\beta = X^\prime Y\).
Se as colunas de \(X\) são linearmente independentes, então \(X^\prime X\) é invertível (inversibilidade) e podemos resolver para \(\beta\), resultando em \( \hat{\beta} = (X^\prime X)^{-1} X^\prime Y\).
Além disso, com \(E(\varepsilon)=0\) o estimador é não-viesado, pois \(E(\hat{\beta})=(X^\prime X)^{-1} X^\prime E(Y)=\beta\). Vale também notar a ortogonalidade dos resíduos: \(X^\prime (Y-X\hat{\beta})=0\).
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