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Questão FC450081

Considere X(t) um processo estocástico com média representada por \(m_X(t)\), para \(t\,\in\,\varGamma\), e, para \(t_1, t_2\,\in\, \varGamma\) sejam \(R_X( t_1, t_2)\) e \(K_X(t_1

Análise de Séries Temporais

Instituto Verbena · 2024

Considere X(t) um processo estocástico com média representada por \(m_X(t)\), para \(t\,\in\,\varGamma\), e, para \(t_1, t_2\,\in\, \varGamma\) sejam \(R_X( t_1, t_2)\) e \(K_X(t_1,t_2)\) as funções de autocorrelação e autocovariância, respectivamente. A equação que relaciona as três funções do processo estocástico X(t) é

  1. \(R_X(t_1, t_2) = K_X(t_1 ,t_2) + m_X(t_1) + m_X(t_2)\)
  2. \(R_X(t_1, t_2) = K_X(t_1 ,t_2) - 2m_X(t_1) m_X(t_2)\)
  3. \(K_X(t_1, t_2) = R_X(t_1 ,t_2) - m_X(t_1) m_X(t_2)\)
  4. \(R_X(t_1, t_2) = R_X(t_1 ,t_2) + m_X(t_1) m_X(t_2)\)
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Gabarito

Certo

Comentário do professor

Autocorrelação: por definição \(R_X(t_1,t_2)=E[X(t_1)X(t_2)]\). Média: \(m_X(t)=E[X(t)]\).

Autocovariância: \(K_X(t_1,t_2)=E\big[(X(t_1)-m_X(t_1))(X(t_2)-m_X(t_2))\big]\).

Expandindo o produto interno e usando linearidade da expectativa obtemos \(K_X(t_1,t_2)=E[X(t_1)X(t_2)]-m_X(t_1)E[X(t_2)]-m_X(t_2)E[X(t_1)]+m_X(t_1)m_X(t_2)\).

Como \(E[X(t_i)]=m_X(t_i)\), os termos intermediários se cancelam, resultando em \(K_X(t_1,t_2)=R_X(t_1,t_2)-m_X(t_1)m_X(t_2)\).

Nota: para processo de média zero \(m_X(t)=0\) vale \(K_X=R_X\). Além disso \(K_X(t,t)=\mathrm{Var}[X(t)]\) e \(K_X\) é simétrica.

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