No contexto de inferência Bayesiana, qual é o estimador pontual obtido da distribuição à posteriori quando se utiliza a função perda quadrática?

Gabarito

B

Comentário do professor

A alternativa correta indica a média da distribuição a posteriori como estimador sob a função de perda quadrática.

Com perda quadrática \(L(\theta,a)=(a-\theta)^2\), o risco posterior esperado é \(R(a)=E[(a-\theta)^2\mid \text{dados}]\).

Usando a identidade de decomposição, \(E[(a-\theta)^2\mid \text{dados}]=(a-E[\theta\mid \text{dados}])^2+{\rm Var}(\theta\mid \text{dados})\). A única parcela que depende de \(a\) é o quadrado do desvio entre \(a\) e \(E[\theta\mid \text{dados}]\).

Portanto, o valor de \(a\) que minimiza \(R(a)\) é \(a=E[\theta\mid \text{dados}]\), isto é, a média a posteriori. Essa escolha reduz a perda esperada ao mínimo possível, desde que a esperança exista.