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Questão FC623774

Uma amostra de tamanho 200, x 1, x 2, ...., x 200, foi retirada de uma população, e seus valores foram transformados segundo a função y i = 4x i-1 para i =1,2,...,200. Sabendo-se q

Estatística Descritiva

CESGRANRIO · 2014

Uma amostra de tamanho 200, x 1, x 2, ...., x 200, foi retirada de uma população, e seus valores foram transformados segundo a função y i = 4x i-1 para i =1,2,...,200.

Sabendo-se que a média e a variância dos dados transformados y 1, y 2, ...., y 200 são, respectivamente, 3 e 16, os valores da média e da variância dos dados originais são, respectivamente,

  1. 1 e 1
  2. 1 e 4
  3. 3/4 e 63
  4. 11 e 64
  5. 11 e 256
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Gabarito

A

Comentário do professor

Temos a transformação \(y_i=4x_i-1\). Reescrevendo para \(x_i\) obtém-se \(x_i=\dfrac{y_i+1}{4}\).

Para a média, a operação é linear: a média dos \(x_i\) é \(\dfrac{\text{média}(y)+1}{4}\). Como \(\text{média}(y)=3\), segue \(\text{média}(x)=\dfrac{3+1}{4}=1\).

Para a variância, somar uma constante não altera a variância e multiplicar por uma constante \(a\) multiplica a variância por \(a^2\). Aqui \(x_i=(1/4)y_i+(1/4)\), logo \(\text{Var}(x)=(1/4)^2\text{Var}(y)\). Como \(\text{Var}(y)=16\), \(\text{Var}(x)=\dfrac{16}{16}=1\).

Portanto, média e variância dos dados originais são, respectivamente, 1 e 1.

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