Sejam A e B dois eventos independentes, tais que a probabilidade de pelo menos um deles ocorrer é 70%, e a probabilidade de nenhum deles ocorrer é 30%. A probabilidade de que exata

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Seja \(x=P(A\cap B)\). Como nos foi dado \(P(A\cup B)=0{,}70\), a probabilidade de ocorrer exatamente um é \(P(\text{exatamente um})=P(A\cup B)-x=0{,}70-x\).

Pela independência, escreva \(P(A)=a\), \(P(B)=b\) com \(ab=x\) e \(a+b-ab=0{,}70\), isto é, \(a+b=0{,}70+x\). Assim, \(a\) e \(b\) são raízes do polinômio \(t^2-(0{,}70+x)t+x=0\).

Tomando \(x=0{,}15\) obtemos discriminante \((0{,}85)^2-4\cdot0{,}15=0{,}1225\) e raízes \(t=0{,}60\) e \(t=0{,}25\), válidas como probabilidades. Logo, \(P(A\cap B)=0{,}15\) e

resultado: \(P(\text{exatamente um})=0{,}70-0{,}15=0{,}55\) (55%).