Questão FC623848
Qual o valor de p?
Probabilidade
CESGRANRIO · 2014
Sejam A, B e C três eventos aleatórios e independentes, tais que \(P(A)={1\over 2}\), \(P(B)={1\over 3}\) e \(P(C) =p\). Sabe-se que a probabilidade de ocorrer pelo menos um desses três eventos é \({3\over 4}\).
Qual o valor de p?
\({1\over 2}\).
\({1\over 4}\).
\({1\over 6}\).
\({2\over 3}\).
\({5\over 6}\).
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Gabarito
B
Comentário do professor
Quando o enunciado diz que ocorre pelo menos um dos eventos, trata-se da probabilidade da união: \(P(A\cup B\cup C)=3/4\).
Aplicando o princípio da inclusão-exclusão e a independência (logo \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\), etc.), temos:
\( \dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+p-\dfrac{1}{6}-\dfrac{p}{2}-\dfrac{p}{3}+\dfrac{p}{6}.\)
Simplificando constantes e termos com \(p\): \( \dfrac{3}{4}=\dfrac{2}{3}+\dfrac{p}{3}\). Assim \( \dfrac{2+p}{3}=\dfrac{3}{4}\), então \(2+p=\dfrac{9}{4}\) e finalmente p = 1/4.
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