Sejam A e B dois eventos independentes, tais que 2P(A) = P(B) e P(A \(\cup\) B) = \(\frac {5} {8}\) O valor de P(A \(\cap\) B) é dado por

Gabarito

B

Comentário do professor

Como A e B são independentes, vale \( \b P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B)\).

A probabilidade da união é \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)\). Com \(P(B)=2P(A)\) e \(P(A\cup B)=5/8\) obtemos \( \dfrac{5}{8}=P(A)+2P(A)-2P(A)^2 = 3P(A)-2P(A)^2.\)

Multiplicando por 8 e rearranjando: \(16P(A)^2-24P(A)+5=0\). Pela fórmula de Bhaskara \(P(A)=\dfrac{24\pm\sqrt{576-320}}{32}=\dfrac{24\pm16}{32}\), resultando em \(P(A)=1{,}25\) ou \(P(A)=0{,}25\). Como probabilidade deve estar em \([0,1]\), temos \(P(A)=1/4\).

Logo \(P(B)=2\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\) e \(P(A\cap B)=P(A)P(B)=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{8}\).