Quantas pessoas devem ser entrevistadas, no mínimo, para que a probabilidade de encontrar pelo menos uma pessoa com o perfil desejado pelo pesquisador seja igual ou superior a 70%?

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Dos 40% que têm a característica, 25% têm o perfil desejado, logo a probabilidade de uma pessoa ter o perfil é \(0{,}4\times0{,}25=0{,}1\) (10%).

A probabilidade de uma pessoa não ter o perfil é \(1-0{,}1=0{,}9\). Para \(n\) entrevistas, a probabilidade de que nenhuma pessoa tenha o perfil é \(0{,}9^n\).

Queremos que a probabilidade de pelo menos uma pessoa ter o perfil seja \(\geq 70\%\). Usando a probabilidade complementar:

\(1-0{,}9^n \geq 0{,}7 \Rightarrow 0{,}9^n \leq 0{,}3\).

Tomando logaritmo: \(n \geq \dfrac{\ln 0{,}3}{\ln 0{,}9} \approx \dfrac{-1{,}204}{-0{,}1054} \approx 11{,}43\). Portanto o menor valor inteiro que satisfaz é 12.