Dois eventos A e B, independentes, são tais que P(A) > P(B), \(P(A \cap B) = \frac {1} {3}\)e \(P (A \cup B) = \frac {5} {6}\) O valor de \(P(A^C \cap B)\)é dado por

Gabarito

D

Comentário do professor

Seja x = \(P(A)\). Pela independência, \(P(A\cap B)=P(A)P(B)=\tfrac{1}{3}\), logo \(P(B)=\tfrac{1}{3x}\).

Usando a fórmula da união: \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\). Substituindo, \( \tfrac{5}{6}=x+\tfrac{1}{3x}-\tfrac{1}{3}\). Multiplicando por \(6x\) obtém-se a equação quadrática \(6x^2-7x+2=0\), com raízes \(x=\tfrac{1}{2}\) e \(x=\tfrac{2}{3}\).

Como \(P(A)>P(B)\), escolhemos \(P(A)=\tfrac{2}{3}\), o que dá \(P(B)=\tfrac{1}{2}\). Finalmente, \(P(A^c\cap B)=P(B)-P(A\cap B)=\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{3}=\tfrac{1}{6}\).